几何平均数

本文从数学定义、推导过程、应用场景三个维度系统解析几何平均数，并对比其与算术平均数的核心差异。

一、概念定义

几何平均数（Geometric Mean）是n个正实数乘积的n次方根： $G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}$

其本质特征：

1. 适用于乘积关系数据（如增长率、比例）
2. 对极端值不敏感
3. 要求数据均为正数

二、数学推导

1. 对数转换推导：

$\ln G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i$

通过对数转换将乘积关系转化为线性关系，几何平均数即指数化的对数平均数

2. 与算术平均数关系：

当数据服从对数正态分布时： $G \leq \bar{X}$

等号当且仅当所有数据相等时成立

三、使用场景对比

四、典型应用

1. 金融投资：计算复合收益率

   • 例：3年收益率分别为10%, 20%, -5%

   $G = \sqrt[3]{1.1 \times 1.2 \times 0.95} - 1 \approx 7.8\%$

2. 数据归一化：消除量纲差异

   • 例：比较不同量纲指标时，使用几何平均保持比例关系

3. 图像处理：Gamma校正

   $G = \sqrt{R \times G \times B}$

   保持色彩平衡

4. 环境科学：污染物浓度评估

   • 更准确反映长期暴露水平

五、局限与注意事项

1. 零值陷阱：数据含零时结果为0
2. 负值限制：无法处理负数
3. 解释难度：结果不如算术平均直观

理解这些特性后，在分析右偏分布（如收入数据）、处理比例变化（如物价指数）时，几何平均数能提供更准确的集中趋势度量。而对称分布数据（如温度测量）则更适合使用算术平均数。